Verfahren und Fehlertheorie für semi-diskrete inverse Probleme: Eine Analyse numerischer Methoden für Integralgleichungen mit diskreten Daten

Das vorliegende Werk beschäftigt sich mit der numerischen Lösung von Integralgleichungen, bei denen nur diskrete Messwerte der rechten Seite zur Verfügung stehen. Da eine kontinuierliche Größe aus diesen endlich vielen Daten zu rekonstruieren ist und von einer Wirkung auf ihre Ursache geschlossen werden muss, spricht man bei dieser Aufgabe von einem semi-diskreten inversen Problem. Typischerweise sind solche Probleme schlecht gestellt, so dass kleine Messfehler große Schwierigkeiten bei der Approximation der gesuchten Funktion bereiten. Diese Instabilität kann jedoch durch Regularisierungsverfahren weitgehend behoben werden. Die vorliegende Arbeit beinhaltet neuartige numerische Lösungsalgorithmen in Hilberträumen mit reproduzierendem Kern. Neben klassischen Methoden werden Support-Vektor-Regressionsverfahren adaptiert, wodurch sich quadratische Programme ergeben. Zudem wird eine umfangreiche Konvergenz- und Fehlertheorie bereitgestellt, aus der optimale Parameterstrategien resultieren. Auch werden Möglichkeiten zur Beschleunigung der eingeführten Verfahren und die Anwendung auf Feature-Rekonstruktionsprobleme analysiert.