Polynomielles Chaos in der Optionsbewertung: Für zufällige Volatilität und zufälligem Zins

Der Grundstein für die Optionsbewertung wurde 1973 zeitgleich von F. Black und M. Scholes als auch von R. C. Merton gelegt. Die parabolische partielle Differentialgleichung, die sie herleiteten, kann zur Berechnung von europäischen Optionen angewendet werden. Aber auch komplexere Optionstypen, wie asiatische Optionen, können mittels partieller Differentialgleichungen gelöst werden. Bekanntermaßen ist eine exakte Ermittlung des Optionswertes aber nicht möglich. Die Gründe hierfür liegen darin, dass die Eingabeparameter Volatilität und sicherer Zinssatz geschätzt werden müssen. In die Black-Scholes Gleichung gehen beide Werte als Konstanten ein. Da man diese beiden Werte zum Ausgabezeitpunkt nicht sicher kennt, kann man sie aus mathematischer Sicht als Zufallsvariablen auffassen. Die Statistik stellt mehrere Methoden zur Verfügung, mit denen man den Zufall in komplexere mathematische Modelle mit einbeziehen kann. Die einfachste und bekannteste ist sicher die Monte-Carlo Methode. Um gute Näherungslösungen zu bekommen, benötigt man aber eine große Anzahl an Versuchen, was bei aufwändigeren Modellen zu einem horrendem Zeitaufwand führt. Deshalb wird in diesem Werk die etwas komplexere Methode der polynomiellen Chaosentwicklung, die 1938 von N. Wiener und danach von R. H. Cameron und W. T. Martin erweitert wurde, verwendet.