Gewöhnliche Diffentialgleichungen. Eine Einführung

VIII Gegenstand erweist sich vor allem bei der Verwendung geeigneter bewichteter Maximum-Normen. Ein erstes Beispiel dafUr findet sich in der Arbeit von Morgenstern (1952); die in der Literatur vielfach gefundenen Hinweise auf spiitere Autoren sind historisch nicht ge­ rechtfertigt. Neu dtirfte wohl die Verwendung einer solchen Norm beim Beweis des Existenzsatzes fUr lineare Systeme im Komplexen in § 21 sein. Dadurch werden erstens kompliziertere Sachverhalte aus der Funktionentheorie umgangen (analytische Fortsetzung und Monodromiesatz werden entbehrlich). Zweitens ergeben sich, sozu­ sagen nebenbei, die fUr die Behandlung der singuliiren Stellen wich­ tigen Wachstumseigenschaften der LOsungen. DaB sich die Siitze tiber die stetige Abhiingigkeit von Anfangswerten und Parametem und tiber die Holomorphie beziiglich komplexer Parameter sofort aus dem Fixpunktsatz ableiten lassen, ist noch wenig bekannt Bei der Differenzierbarkeit nach reellen Parametem wird eine Er­ weiterung des Fixpunktsatzes benotigt (§ 13). Bei der Behandlung der linearen Systeme mit schwach singuliiren Stellen werden die entscheidenden Konvergenzbeweise ebenfalls durch Zuriickfdhrung auf das Kontraktionsprinzip in einem ge­ eigneten Banach-Raum gefdhrt. Diese neue Beweismethode wurde fUr den Fall holomorpher Losungen, also bei Potenzreihenentwick­ lungen, von Harris, Sibuya und Weinberg (1969) entdeckt. Jedoch kann auch der logarithmische Fall auf diese Weise behandelt werden. Wenn wir diesen Weg anstelle der klassischen Majorantenmethode gewiihlt haben, so nicht nur, um ein Prinzip unter allen Umstiinden durchzuhalten.